Gleichungen

Eine Gleichung ist eine Behauptung und besteht aus zwei Seiten. Das Gleichheitszeichen besagt, dass beide Seiten gleich sind.

Lösen einer Gleichung

Beim Lösen einer Gleichung wird die gesuchte Größe alleine auf eine Seite gebracht (isoliert).

Gleichungen lassen sich durch Addition, Subtraktion, Multiplikation, usw. umformen. Wenn man das auf beiden Seiten gleichermaßen tut, bleibt die Gleichung erfüllt.

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Merke

Um Gleichungen umzuformen, ohne dass sich die Lösungsmenge ändert, wird auf beiden Seiten die gleiche Rechenoperation durchgefürt.
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Info

Die Rechenoperation, die man durchführt, wird meistens hinter einem Betragsstrich neben die Gleichung geschrieben.

Beispiel 1

$x+10=18 \quad|\color{red}{-10}$
$x+10\color{red}{-10}=18\color{red}{-10}$
$x=8$

Beispiel 2

$5x-8=12 \quad|\color{red}{+8}$
$5x-8\color{red}{+8}=12\color{red}{+8}$
$5x=20\quad|\color{blue}{:5}$
$\frac{5x}{\color{blue}{5}}=\frac{20}{\color{blue}{5}}$
$x=4$

Gegenoperation nutzen

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Merke

Eine Bindung lässt sich auflösen, indem man die Gegenoperation nutzt.

Um also eine Größe oder Zahl von einer Seite zur anderen zu bekommen, muss die Gegenoperation durchgeführt werden.
Die Gegenoperation der Addition ist die Subtraktion und die der Multiplikation ist die Division.

Beispiel 3

Bereits in den anderen Beispielen wurde die Gegenoperation genutzt. Hier noch ein weiteres Beispiel.

$2x+20=28$

  1. Zuerst wollen wir die $+20$ loswerden, damit $2x$ alleine steht.
    Dazu nutzen wir die Gegenoperation: Statt +20, wird von beiden Seiten 20 subtrahiert.

    $2x+20=28\quad|\color{red}{-20}$
    $2x+20\color{red}{-20}=28\color{red}{-20}$
    $2x=8$

  2. Nun steht die gesuchte Größe alleine auf einer Seite.
    Da wir jedoch noch $2\cdot$ davor haben, dividieren wird die gesame Gleichung durch 2.

    $2\cdot x=8\quad|\color{blue}{:2}$
    $\frac{2\cdot x}{\color{blue}{2}}=\frac{8}{\color{blue}{2}}$
    $x=4$